Norme de vecteur - Module de complexe

Rappel

Soit \(\vec{w}\) un vecteur du plan complexe d'affixe \(z\) . On a : \(\left\vert z \right\vert= \left\vert\vert \vec{w} \vert\vert\right.\) .

Proposition

Soit \(\text A(z_\text A)\) et \(\text B(z_\text B)\) deux points du plan complexe. On a :  \(\begin{align*}\left\vert z_\text B-z_\text A \right\vert=\text A\text B=\Vert \overrightarrow{\text A\text B} \Vert.\end{align*}\)

Démonstration

Dans le repère \((\text O;\vec{u},\vec{v})\) , le vecteur \(\overrightarrow{\text A\text B}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{\text A\text B}\binom{x_\text B-x_\text A}{y_\text B-y_\text A}\) , et donc : \(\begin{align*}\text A\text B=\Vert\overrightarrow{\text A\text B}\Vert= \sqrt{(x_\text B-x_\text A)^2+(y_\text B-y_\text A)^2}.\end{align*}\)

De plus, \(\begin{align*}\left\vert z_\text B-z_\text A \right\vert= \left\vert x_\text B+iy_\text B-(x_\text A+iy_\text A) \right\vert& = \left\vert (x_\text B-x_\text A)+i(y_\text B-y_\text A) \right\vert \end{align*}\)
donc \(\begin{align*}\left\vert z_\text B-z_\text A \right\vert=\sqrt{(x_\text B-x_\text A)^2+(y_\text B-y_\text A)^2}\end{align*}\)
et donc \(\text A\text B=\Vert\overrightarrow{\text A\text B}\Vert = \left\vert z_\text B-z_\text A \right\vert\)  .

Exemple

Soit \(\text A(1-5i)\) et \(\text B(4-2i)\) . On a alors :
\(\begin{align*}\text A\text B= \left\vert z_\text B-z_\text A \right\vert& = \left\vert 4-2i-(1-5i) \right\vert\\& = \left\vert 4-2i-1+5i \right\vert\\& = \left\vert 3+3i \right\vert\\& = \sqrt{3^2+3^2}= \sqrt{9+9}= \sqrt{18}=3\sqrt{2}.\end{align*}\)