Norme de vecteur - Module de complexe

Rappel

Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur du plan complexe d'affixe $z$ . On a : $\left|z\right|=||\overrightarrow{w}||$ .

Proposition

Soit $\text{A}(z_{\text{A}})$ et $\text{B}(z_{\text{B}})$ deux points du plan complexe. On a :  $\begin{array}{r}|z_{\text{B}}-z_{\text{A}}|=\text{A}\text{B}=\Vert \overrightarrow{\text{A}\text{B}}\Vert .\end{array}$

Démonstration

Dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , le vecteur $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}})$ , et donc : $\begin{array}{r}\text{A}\text{B}=\Vert \overrightarrow{\text{A}\text{B}}\Vert =\sqrt{(x_{\text{B}}-x_{\text{A}}{)}^2+(y_{\text{B}}-y_{\text{A}}{)}^2}.\end{array}$

De plus, $\begin{array}{rl}|z_{\text{B}}-z_{\text{A}}|=|x_{\text{B}}+i{y}_{\text{B}}-(x_{\text{A}}+i{y}_{\text{A}})|& =|(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})+i(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})|\end{array}$
donc $\begin{array}{r}|z_{\text{B}}-z_{\text{A}}|=\sqrt{(x_{\text{B}}-x_{\text{A}}{)}^2+(y_{\text{B}}-y_{\text{A}}{)}^2}\end{array}$
et donc $\text{A}\text{B}=\Vert \overrightarrow{\text{A}\text{B}}\Vert =|z_{\text{B}}-z_{\text{A}}|$  .

Exemple

Soit $\text{A}(1-5i)$ et $\text{B}(4-2i)$ . On a alors :
$\begin{array}{rl}\text{A}\text{B}=|z_{\text{B}}-z_{\text{A}}|& =|4-2i-(1-5i)|\\ & =|4-2i-1+5i|\\ & =|3+3i|\\ & =\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.\end{array}$